帯分数の繁分数

分数式の計算のところには繁分数式を簡単にする問題がある。

繁分数自体は三角比の計算のところでよく出てくるからみんな知っているけれど、実のところはよくわかってないのだ。

何よりも普通はこんな表し方をしないし・・・

この式を簡単にするとどうなるだろうか。

まず最初にすることは「３と９を約分すること？」

パワースオブテン

大きな数や小さな数を表すのに私たちは指数を使う。

普通の表し方をした数字と違って

といった指数の形で表された数字はなかなか実感が伴わない。

ここから指数関数について考えよう。

単位円の動き

単位円で動径がどう動いているのか、それに応じて三角関数の値はどう変化するか。
(ただいま作成中、順次増える予定)

sinの様子

軌跡を見る

数学II　図形と式　軌跡のところで実際にいろいろな軌跡を描いてみた。
授業で使ったファイルをそのままアップしてあるので、授業を受けていないとわかりにくいかもしれない。

実際にグラフを動かすためには大阪教育大学付属高校池田校舎の友田先生がおつくりになったGRAPESが必要です。

リンク先からダウンロードできます。

PDFファイルになっています。PDFの中のグラフの画像をクリックするとGRAPESが起動します。

文字定数を含む直線(直線群１）

直線の方程式の中に文字が含まれているとき、その文字にいろいろな数字を入れてみるとどんな風に変化するかを考えてみる。

最初はなるべく簡単なものから。

文字定数を含む直線のFLASH

3つの平均

普段、「平均｣と呼んでいるのは相加平均あるいは算術平均と呼ばれるもの。l
20点と80点の平均は

で計算することができる。
これは50点を二回取ったときの平均に等しい。

これに対して相乗平均あるいは幾何平均と呼ばれるものは加える代わりに積を考えたもの。

これも50点を二回取ったときには

となり、これは相加平均の場合と変わらない結果が得られる。
(相乗平均の場合、3個以上になると累乗根と呼ばれるものを使う。たとえばは3乗するとになる数であり、の相乗平均になっている。）

さらにこのほかに調和平均がある。

20点と80点の調和平均は

になるが、50点2回の場合にはやはり

になる。

普段の生活の中では相乗平均や調和平均は使わないけれど、
相乗平均は倍率などの平均を考えるとき、
調和平均は速度の平均などを考えるときに使われる。

一般の場合については平均 - Wikipedia.にある。

また
(相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)
が成り立つ。

因数分解(文字定数)

因数定理を使って因数分解をするとき、文字定数があれば代入する数字(または文字)に注目。

であれば、
と
に注目して考えると考えやすい。

恒等式と方程式

恒等式と方程式の見た目だけの違いはほとんどない。

　　　

をについての恒等式としてみれば

　　　

だし、

　　　

をについての方程式と見れば・・・答はややこしいけれど、

　
のときすべての実数

　
のとき解なし

　
のとき
と言う面倒な答になる。

方程式としてとくほうがずっと難しいのだ

解の公式を使った因数分解

因数分解が苦手な人は少ないのだが、解の公式を使った因数分解ではほとんどの人が同じ落とし穴にはまる・・・

たとえば、

を因数分解するときにはまず解の公式を利用するために

とおいてから解の公式を使って

を求めて

と

を因数に持つ・・・ここまではみんなできるのだが･････だから

とやってしまうのだ････

なのに・・・

共役

共役複素数で使う共役・・・

昔はきっと「きょうえき複素数」としか読まなかったのかもしれない。
自分が習ったときには先生が「きょうやく」と読んでいて、「使役動詞の役だから」といっていたのだが・・・