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2006年7月13日 (木)

【順列組合せ】試合数

高校野球が始まっている。

200チームの地方大会では何試合行われるだろうか?

クラスのグループ対抗などといったチーム数が少ないときには総当たり戦でどのチームとも必ず対戦するが、200チームもあったら自分のチーム以外の199チームと対戦しなくてはならないから物理的に不可能だ。
総当たり戦なら

Mimetex_6

試合、つまり19900試合ある事になる。毎日100試合ずつやっていてもとてもじゃないけれど終わらない。
だからトーナメント方式になるのだが、トーナメント方式では何試合あるのだろう?

2チームなら試合は1試合だけ。

4チームなら試合は1回戦が2試合、2回戦(優勝決定戦)が1試合の計3試合

8チームなら、1回戦が4試合、2回戦が2試合、3回戦が1試合 の計7試合・・・・

どうやらチーム数がMimetex2_3チームなら、1回戦から順に考えていくと

1回戦がMimetex3_4試合で、順に足していけばいいことがわかるけれど、200チームはMimetex2_3の形ではないからちょっと厄介だ。
2回戦からのチームを作らなくてはならない。

そこで考え方を変えてみよう。

今までは試合数から考えていったけれど、逆にそれぞれのチームについて考えてみよう。
トーナメントでは最後は優勝決定戦になって優勝するチームはただひとつである。

それ以外のチームはどこかで必ず負けている。
つまり、優勝するチーム以外は必ず1回だけ負けているのだ。2回、3回と負けることはなくて、どのチームもちょうど一回だけしか負けない。

試合には勝つチームと負けるチームが必ずあるのだから、行われた試合は負けたチームの数と同じになる。
つまり、200チームある地方大会なら199試合行われる事になる。

ほんとうにそうだろうか?

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